KEBENARAN MATEMATIKA BAGIAN II

KEBENARAN MATEMATIKA (BAGIAN II)

MAKALAH

Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Tugas Mata Kuliah Filsafat dan Sejarah Matematika

 Oleh:

ACEP MUHAMAD ANWAR

162151086

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SILIWANGI

TASIKMALAYA

2016

RANGKUMAN

Aksioma Peano memuat tiga term tak didefinisikan: '0', 'bilangan', dan 'pengikut' dan 5 buah aksioma. Term-term tak didefinisikan dapat diberi makna biasa, dan secara teoretis dalam takhingga cara. Tetapi makna biasa ini harus mengubah kelima aksioma menjadi proposisi-proposisi yang bernilai benar. Selanjutnya dapat diciptakan definisi kata-kata baru dari termterm yang telah diberi makna biasa itu. Syaratnya definisi ini harus menjadi proposisi yang bernilai benar. Dari definisi dan aksioma dalam makna biasa akan diperoleh teori-teori melalui deduksi logis. Dengan demikian teori yang telah diperoleh dengan makna biasa ini menjadi sistem matematika yang letak kebenarannya ada pada definisi-definisi itu. G. Frege, Russell dan Whitehead telah secara rinci memberi makna biasa dari term-term tak didefinisikan Peano dan membuat definisi-definisi dengan teknik lambang logika. 'Bilangan 2' dalam primitif Peano adalah kosong dari arti. Bilangan 2 adalah makna 'biasa'. Bilangan alam 2 (biasa) adalah ciri khas dari koleksi himpunan-himpunan C terdiri dari objek-objek, yakni n(C) = 2. Bilangan 2 didefinisikan sebagai berikut: "Terdapat objek x dan objek y sedemikian rupa sehingga (1) x C dan y C, (2) x y, (3) Jika z C adalah sebarang anggota di C, maka z = x atau z = y" Dari definisi ini kita dapat menyimpulkan bahwa n(C) = 2 dengan pertolongan logika.

Tiga term primitif Peano adalah '0', 'bilangan', dan 'pengikut', dapat iinterpretasikan dengan makna biasa dengan banyak cara. Misalnya, primitif 'bilangan' diartikan bilangan alam 0, 1, 2, 3, ... Primitif dalam makna biasa ini didefinisikan melalui konsep-konsep logika (ada 4 konsep pokok). Ternyata aksioma-aksioma Peano, melalui deduksi, menjadi proposisi-proposisi. Selanjutnya jika perlu diteruskan dengan membuat definisi-definisi non-primitif melalui prinsip-prinsip logika. Dengan cara ini seluruh teori matematika dapat dideduksi dengan menggunakan konsep-konsep logika dan jika diperlukan ditambahkan 'aksioma pilihan' dan 'aksioma infinit'. Dari kenyataan ini maka timbullah pemikiran bahwa matematika adalah cabang logika. Akibat selanjutnya ialah bahwa kebenaran matematika terletak pada definisi-definisi itu. Inilah letak kebenaran aksioma Peano dalam makna biasa. Berbeda dengan teori geometri, geometri dipandang sebagai studi tentang struktur ruang fisik, maka  rimitif-primitifnya harus dibangun dengan mengacu pada entitas fisik jenis tertentu. Jadi, dengan demikian kebenaran teori geometri dalam interpretasi ini terletak pada persoalan empiris. Tentang kegunaan matematika dalam sains empiris, harus dilihat dengan telaah lebih mendalam. Sebagian terbesar perkembangan sains empiris (IPA dan IPS) telah diperoleh melalui penerapan terus menerus proposisi-proposisi matematika. Akan tetapi perlu diingat, bahwa fungsi matematika di sini bukan memprediksi, melainkan sebagai analisis atau ekspliaktif. Matematika membuka asumsi-asumsi secara eksplisit atau membuka asersi-asersi yang termuat dalam premis-premis argumen. Matematika membuka data, yakni, mana yang diketahui dan mana yang dipersoalkan. Jadi, penalaran matematis dan logis adalah teknik konseptual membuka perangkat premis-premis yang implisit menjadi premis-premis yang eksplisit.

KATA PENGANTAR

Assalamualaikum Wr. Wb.

Segala puji hanya milik Allah Swt. Yang maha rahman dan rahim. Ucapan syukur saya ucapkan pada dzat illahi robbi karena atas limpahan rahmat dan hidayahnya penulis dapat menyusun makah ini.

Pertama saya ucapkan terimakasih kepada dosen pengampu mata kuliah filsafat dan sejarah matematika Bapak Dr. H. Ebih AR Arhasy, M.Pd. yang telah membimbing saya, dan tak lupa ucapan terimakasih saya ucapkan juga pada semua pihak yang telah membantu demi tersusn makalah ini .

Adapun pokok bahasan dalam makalah ini antara lain kebenaran konsep-konsep dalam matematika yang meliputi interpretasi primitif-primitif peano, definisi makna biasa terhadap konsep-konsep aritmatika dalam term-term logika murni, dan kebenaran matematika dalam sains empiris yang meliputi kebenaran postulat peano dalam interpretasi biasa, matematika sebagai cabang dari logika, kegunaan matematika atas materi objek empiris.

           Dalam penyususnannya penulis mengakui masih banyak kekuranagan untuk itu penulis berharap pembaca dapat mengembangkan makalh ini dan lebih menyempurnakannya. Penulis berharap makalah ini dapat membantu pembaca untuk mempermudah dalam pembelajaran filsafat dan sejarah matematika khususnya kebenaran matematika bagian dua. Penulis berharap supaya pembaca

makalah ini dapat menambah wawasan serta pengetahuan mengenai kebenaran matematika bagian dua.

           Kritik dan saran dari seluruh pembaca saya harapkan demi perbaikan makalah ini. Dengan kritik dari pembaca maka perbaikan makalah ini dapat dilaksanakan dan dengan saran pembaca juga perbaikan itu dapat dilakukan.

           

Tasikmalaya,   Desember 2016

Penulis,                       

          

Acep Muhamad Anwar         

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR........................................................................................... iii

DAFTAR ISI.......................................................................................................... v

BAB I.     PENDAHULUAN

A.    Latar Belakang ................................................................................ 1

B.     Rumusan Masalah............................................................................ 2

C.     Daftar Istilah.................................................................................... 2

D.    Tujuan............................................................................................... 2

E.     Manfaat............................................................................................ 3

BAB II.  PEMBAHASAN KEBENARAN KONSEP KONSEP DALAM MATEMATIKA

A.       Interpretasi Primitif-Primitif Peano................................................. 4

B.   Definisi Makna Biasa Terhadap Konsep-Konsep Matemartika Dalam Term-Term Logika  Murni......................................................................... 5

BAB III. PEMBAHASAN KEBENARAN MATEMATIKA DALAM SAINS EMPIRIS

A.       Kebenaran Postulat Peano Dalam Interpretasi Biasa...................... 8

B.       Matematika Sebagai Cabang Dari Logika...................................... 9

C.       Kegunaan Matematika Atas Materi Objek Empiris........................ 9

BAB IV.  SIMPULAN DAN SARAN

A.    Simpulan........................................................................................... 12

B.     Saran................................................................................................. 12

BAB V.   DAFTAR PUSTAKA........................................................................... 13

BAB I

PENDAHULUAN

A.    Latar Belakang

Dalam proses perkuliahan tentunya ada proses belajar didalamnya. Proses perkuliahan yang terjadi bisa berbeda tergantung dengan disiplin ilmu yang dikajinya masing-masing, namun jika dilihat lebih dalam meskipun berbeda bidang yang dikaji tetapi memiliki permasalahan yang mirip seperti perlunya mendalami disiplin ilmu yang dikaji, takterkecuali dengan perkuliahan dibidang pendidikan matematika. Dalam proses perkuliahan pendidikan matematika tentunya memiliki kurikulum dan dengan adanya kurikulum maka ada juga mata kuliah, seperti mata kuliah filsafat dan sejarah matematika yang merupakan salah satu dari mata kuliah yang harus dituntaskan.

Dalam proses perkuliahan matakuliah filsafat dan sejarah matematika umumnya khususnya pembelajaran sifat kebenaran matematika bagian dua tentunya dibutuhkan kesadaran semua mahasiswa yang mengontrak matakuliah tersebut akan pentingnya mempelajari dengan sungguh-sungguh matakuliah filsafat dan sejarah matematika khususnya sifat kebenaran matematika bagian dua. Namun, dalam prosesnya perkulihan tentunya memiliki kendala yang tidak sedikit seperti kendala dalam mencari informasi mengenai sifat kebenaran mtematika

bagian dua, kemudian mencari penjelasan tentang hal tersebut dan juga kendala dalam menganalisis hal tersebut.

Berdasarkan uraian diatas untuk mengatasi permaslahan tersebut tentunya dibutuhkan suatu kajian mengenai sifat kebenaran matematika bagian dua supaya mahasiswa dapat lebih memahami dan mengerti mengenai sifat kebenaran matematika bagian dua dan menganalisisnya.

B.     Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah tersebut maka rumusan maslah yang ada dalam kajian ini adalah sebagai berikut:

1.        Bagaimana cara mahasiswa mengetahui dan memahami sifat kebenaran matematika bagian dua?

2.        Bagaimana cara mengkaji sifat kebenaran matematika bagian dua?

3.        Bagaimana cra menganalisis sifat kebenaran matematika bagian dua?

C.     Tujuan

Berdasarkan rumusan masalah tersebut maka tujuan dari penulisan makalah ini adalah :

1.        Untuk mengetahui sifat kebenaran matematika bagian dua;

2.        Untuk mengkaji sifat kebenaran matematika bagian dua;

3.        Untuk menganalisis sifat kebenaran matematika bagian dua.

D.    Definisi Istilah

1.        Matematka : ilmu tentang bilangan, hubungan antara bilangan, dan prosedur operasional yang digunakan dalam penyelesaian masalah mengenai bilangan.

2.        Kebenaran : pengakuan realitas.

3.        Kebenaran matematika : pengakuan realitas (nyata) tentang ilmu bilangan.

4.        Sains : pengetahuan sistematis yang diperoleh dari sesuatu observasi, penelitian, dan uji coba yang mengarah pada penentuan sifat dasar atau prinsip sesuatu yang sedang dipelajari.

5.        Empiris : pengalaman berdasarkan pengamatan yang telah dilakukan.

6.        Sains empiris : pengetahuan sistematis yang diperoleh berdasarkan pengamatan yang telah dilakukan.

E.      Manfaat

Sesuai dengan tujuan penulisan makalah ini maka manfaat yang dapat diambil dari penulisan makalah ini adalah :

1.      Memnambah informasi mengenai kebenaran matematika bagian dua;

2.      Menjadi bahan pembelajaran sifat kebenaran matematika;

3.      Menjadi bahan acuan dalam penulisan makalah tentang sifat kebenaran matematika bagian dua kedepannya;

4.      Meningkatkan kemampuan menulis karya tulis penulis;

5.      Menambah wawasan penulis mengenai sifat kebenaran matematika bagian dua.

BAB II

PEMBAHASAN

KEBENARAN KONSEP KONSEP DALAM MATEMATIKA

A.                Interpretasi Primitif-Primitif Peano

Aksioma peano dapat menjadi landasan dari semua sistem matematika aksiomatis, sebagai konsekuensi dari hasil ini, seluruh sistem matematika dapat dikatakan benar menurut definisi-definisi saja (yakni,dari term-term matematika non primitif) asalkan kelima postulat peano itu benar. Bagaimanapun mudahnya, kita tidak dapat mengacu pada postulat peano sebagai proposisi-proposisi yang benar atau salah, sebab postulat itu mengandung 3 term yang tidak terdefinisikan yang tidak diberikan makna khusus (kosong dari arti). Sebegitu jauh yang dapat kita asersikan adalah bahwa setiap interpretasi khusus yang kita berikan kepada term-term primitif yang memenuhi kelima postulat – denagn kata lain, mengubah postulat ke dalam  pernyataan yang benar – juga akan memenuhi semua teorema yang dideduksi darinya. Sebab untuk sistem peano, terdapat beberapa (bahkan tak hingga banyak) interpretasi yang dapat diberikan padanya. Sistem peano memperkenalkan banyak interpretasi yang berlainan, sementara dalam kehidupan sehari-hari dan juga dalam bahasa ilmiah, kita memberikan makna khusus kepada konsep-konsep aritmatika. Jadi dalam pembicaraan keilmuan sehari-hari, konsep

dua dipahami dengan cara demikian sehungga dari pernyataan “bapak bakri dan juga bapak mardi, tetapi tidak ada orang lain lagi di kantor, dan bapak bakri tidak sama dengan bapak mardi ,” kesimpulannya “terdapat dua orang di kantor” menjadi kesimpulan yang valid.

Jika matematika kemudian harus menjadi teori yang benar untuk konsep-konsep matemtika dalam makna yang diinginkan, tidak cukup bahwa validasinya telah ditunjukan dengan mengatakan bahwa semua sistem telah dapat diturunkan dari postulat-postulat peano plus definisi-definisi yang sesuai; melainkan kita harus meneliti lebih lanjut apakah postulat-postulat peano sungguh-sungguh benar apabila primitif =primitif diganti dengan makna biasa, permasalahan ini, tentu saja, dapat dijawab hanya setelah makna biasa dari term-term “0”, ”bilangan alam”, dan “pengikut” didefinisikan dengan jelas.

B.                Definisi Makna Biasa Terhadap Konsep-Konsep Matemartika Dalam Term-Term Logika Murni

Definisi-definsi yang sangat rigor dari jenis yang diinginkan benar-benar dapat dirumuskan, dan dapat ditunjukan bahwa dengan konsep-konsep yang didefinisikan ini, semua postulat peano berubah menjadi pernyataan yang benar. Hasil yang penting ini deberikan oleh hasil karya penelitian G. Frege (1848-1925) logikawan bangsa jermandan berikutnya karya yag lebih rinci dan sistematis oleh logikawan dan filsuf inggris kontenporer B. Russell dan A. N. Whitehead. Perhatikan sejenak ide dasar yang menekankan definisi- definisi ini.

Suatu bilangan alam ( dalam sistem peano disebut bilangan) dalam makna biasa dapt dipandang sebagai ciri khas suatu himpunan objek tertentu jadi, misalnya, himpunan apostol (sahabat nabi isa) adalah bilangan 12, himpunan dione lima-tupel bilangan 5, sembarang  pasangan adalah bilangan 2, dan sebagainya. Marilah sekarang kita ungkapkan secara persis makna dari asersi bahwa himpunan tertentu C mempunyai bilangan 2, atau singkatnya n(C)=2. Renungkan sejenak akan tampak bahwa definisi berikut cukup dalam arti makna biasa untuk kosep 2: “terdapat objek x dan objek y sedemikian sehingga (1) x Î C dan y Î C , (2) x ≠ y , dan (3) jika z sembarang objek sedemikian sehingga z Î C, maka z =x atau z = y ”. (perhatikan bahwa atas dasar definisi ini menjadi sungguh mungkin menyimpulkan pernyataan “bayaknya orang dikantor adalah 2” dari pernyataan “bapak bakri dan juga bapak mardi, tetapi tidak ada orang lain lagi di kantor, dan bapak bakri tidak sama dengan bapak mardi”; C disini adalah himpunan orang-orang dikantor).

Pola umum definisi-definisi ini dengan sendirinya dapat dipakai untuk sembarang bilangan alam. Perhatikan khusunya bahwa definisi-definisi yang diperoleh ini yang didefinisikan tanpa memuat sembarang term aritmatika, akan tetapi semata-mata ungkapan-ungkapan yang diambil dari bidang logika formal, termasuk tanda tanda identitas dan perbedaan.akhirnya 0 adalah koleksi semua himpunan nol, yakni, koleksi semua himpunan tanpa unsur. Dan hanya terdapat satu himpunan yang demikian, 0 menjadi lebih sederhana yakni, koleksi yang mempunyai satu unsur himpunan nol. Definisi “pengikut” yang perumusan persisnya melibatkan bnayak kecermatan untuk diungkapkan di sisni, merupakan suatu ungkapan hati-hati dari ide sederhana yang akan dilukiskan oleh contoh berikut: pandang bilangan 5, yakni, himpunan semua tupel. Kita pilih salah satu dari lima - tupel ini  dan menambahkan kepadanya suatu objek yang bukan salahsatu anggotanya. Maka 5’, pengikut 5 kemudian dapat didefinisikan sebagai bilangn dengan menerapkan kepada himpunan yang telah diperoleh (yang tentu saja enam - tupel).

Ciri khas yang diberikan pada definisi-definisi deberikan secara hati-hati. Kasus ini melukiskan teknik-lambang (atau teknik matematis, dan logika membuktikan sangat perlu). Tampak bahwa definisi benda (yang didefinisikan) secara eksklusif memuat term-term dari bidang logika murni. Semua konsep matematika terbukti dapat didefinisikan dalam term-term empat konsep logika murni. (Definisi satu atau lebih konsep-konsep matematika yang rumit dalam term-term empat primitif yang baru saja disebutkan dapat memenuhi ratusan bahkan ribuan halaman; tetapi jelaslah pengaruh ini bukan hasil kepentingan teoritis yang baru diperoleh itu; hal ini hanya menunjukan kenikmatan besar dan sungguh-sungguh praktis dan perlu bagi matematika dengan sistemnya yang sangat luas dan dengan kerumitan yang tinggi untuk mendefinisikan konsep yang diperlukan).

BAB III

PEMBAHASAN

KEBENARAN MATEMATIKA DALAM SAINS EMPRIS

A.    Kebenaran Postulat Peano Dalam Interpretasi Biasa

Kita tuliskan lagi postulat peano dibawah ini untuk memudahkan mengacu:

P1. 0 adalah suatu bilangan        

P2. Pengikut sembarang bilangan adalah bilangan

P3. Tidak ada dua bilangan yang menjadi pebgikut yang sama

P4. 0 buknlah pengukut bilangan apaun

P5. Jika P adalah suatu sifat sedemikian sehingga (a) 0 bersifat P, dan (b) apabila suatu bilangan n bersifat P, maka pengikut n’ juga bersifat  P,maka setiap bilangan bersifat  P.

Dapat ditunjukan bahwa postulat-postulat peano seluruhnya berubah menjadi proposisi-proposisi yang benar jika perimitif-primitif dikaitkan dengan definisi-definisi yang dibicarakan itu.

Jadi, P1 (0 adalah suatu bilangan) adalah benar sebab himpunan semua blangan – yakni, bilangan alam – didefinisikan sebagai terdiri atas 0 beserta pengikut-pengikutnya. Kebenaran P2.( Pengikut sembarang bilangan adalah bilangan) mengikuti definisi yang sama. P5, prinsip induksi matematika benar pula. P4. 0 (buknlah pengukut bilangan apaun)

kebenarannya dapat dilihat. Bukti P3. (Tidak ada dua bilangan yang menjadi pebgikut yang sama) menyajikan esulitan tertentu. Kesulitan ini dapat diatasi dengan mengintroduksi “aksioma infinitif “ yang menyatakan, kebenaran objek tak hingga banyak (infinit), sehingga membuat kebenaran P3 tlah ditunjukan.

B.     Matematika Sebagai Cabang Dari Logika

Menurut kaum logistik matematika adalah cabang dari logika, matematika dapat diturunkan dari logika dengan cara sebagai berikut:

1.         Semua konsep matematika, yakni, aritmatika, aljabar, analisis, dapat didefinisikan dalam term-term empat konsep logika murni.

2.         Semua teorema matematika dapat dideduksi dari definisi definisi itudengan melalui prinsip-prinsip logika (trmasuk aksioma pilihan dan aksioma infinitas).

dalam arti ini dapat dikatakan bahwa proposisi-proposisi sistem matematika, seperti dibatasi disini, adalah benar menurut definisi-definisi konsep matematika yang terlibat, atau bahwa proposisi membuat eksplisit ciri-ciri tertentu tempat kita memberikan konsep-konsep matematika dengan definisi. Dengan demikian proposisi matematika telah memilikikepastian yang tidak dapat dipermasalahkan yang merupakan ciri khasnya.   

Proposisi-proposisi matematika adalah kosong dari konten faktual; mereka tidak membawa informasi apapun atas materi subjek empiris.

C.     Kegunaan Matematika Atas Materi Objek Empiris

Hasil ini nampaknya tidak cocok dengan hasil yang menyatakan bahwa semua matematika telah membuktikan keunggulannya untuk diterapkan pada materi subjek empiris. Sebenarnya sebagian besar pengetahuan ilmiah masa kini telah di peroleh melaui kesadaran terus-menerus atas penerapan proposisi-proposisi matematika. Fungsi matematika sama sekali bukan untuk prediksi, melainkan fungsi analisisis atau eksplikatif. Penalaran matematis telah membuka bhawa premis-premis memuat – tersembunyi didalamnya, seperti seharusnya – suatu asersi kasus yang belum terungkap. Penalaran matematis dan juga logis adalah suatu teknik konseptual dalam membuatnya menjadi eksplisit dari apa yang semula implisit yang termuat dalam seperangkat premis konklusi – konklusi yang diberikan oleh teknik ini tidak mengasersikan apa-apa yang secara teoritis baru dalam arti tidak termuat didalam isi premis – premis.

Analisis yang serupa dapat dilakukandalam semua kasus penerapan matematika , termasuk yang melibatkan, umpamanya, kalkulus. Dan sebenarnya dalam kasus kegagalan prediksi yang terjadi akan dipandang sebagai indikasi sebagai ketidakbenaran faktual paling sedikit didalam premis-premis yang terlibat, tetapi tidak akan pernah mengindikasi bahwa prinsip – prinsip matematis yang terlibat tidak bermanfaat.

Jadi dalam membangun ilmu pengatahuan empris, matematika dan logika mempuyai fungsi, demikian dikatakan, sebagai bumbu ekstrak teoritis. Teknik – teknik teori matematis dan logis dapat menghasilkan

tidak lebih daripada bumbu informasi faktual dan bukan termuat dalam asumsi-asumsi yang diterapkan. Akan tetapi matematika dan logika dapat menghasilkan lebih banyak bumbu jenis daripada apa yang mungkin diantisipasi atas penglihatan intuitif awal asumsi asumsi yang membangun masukan kasar untuk di ekstrak.

Ada baiknya kita perhatikan secara singkat status disiplin matematis yang sejalan dengan matemika dan logika. Masing masing disiplin ini dapat dikembangkan sebagai sistem deduktif murni atas dasar seperangkat postulat yang sesuai.

Dalam kasus aritmatika terbukti kemungkinan satu langkah lebih maju, yakni mendefinisikan makna biasa dari primitif-primitif dalam termm konsep – konsep logika murni dan menunjukan bahwa postulat-postulat – aritmatika dalah benar tanpa syarat menurut definisi-definisi. Dalam penerapannya pada materi subyek empiris maka teori-teori matematis tidak kurang peranannya sejalan dengan aritmatika dan logika murni, mempunyai fungsi sebagai alat analisis, yang membawa ke implikasi seperangkat asumsi yang diberikan tetapi tidak menambah apapun isinya.

Disamping matematika tidak berkontribusi apapun terhadap konten pengetahuan dalam materi empiris kita, matematika sama sekali tidak dapat dikesampingkan sebagai suatu instrumen untuk validasi dan bahkan untuk ungkapan linguistik pengetahuan-pengetahuan.

Maka garis besar pada analisis pada bagian ini menunujukan sitem matematika sebagai struktur konseptual raksasa dan cerdik tanpa konten empiris dan bahkan sekaligus sangat perlu. Dan merupakan instrumen teoritis yang sangat kuat bagi pemahaman ilmiah dan penguasaan dunia tempat kita berpengalaman.

BAB IV

SIMPULAN DAN SARAN

A.               SIMPULAN

Berdasarkan hasil kajian dan analisis yang telah dilakukan pada makalh ini maka dapat ditarik simpulan sebagai berikut :

1.             Kebenaran matematika diawali dengan aksioma dan teori matematika diturunkan secara logis dengan sistem logika maka kebenaran matematika disebut kebenaran kondisional.

2.             Kebenaran perangkat aksioma matematika bukan self evident truth bukan pula sains empiris yang lebih umum tetapi apriori, benar sekali untuk selamanya.

3.             Kebenaran perangkat aksioma matematika bukan self evident truth bukan pula sains empiris yang lebih umum tetapi apriori, benar sekali untuk selamanya.

B.       SARAN

Penulis menyadari bahwa sepenuhnya dalam penuisan makalah ini masih terdapat bahkan banyak kekurangan untuk itu penuis berharap pembaca dapat menyempurnakan makalah ini keepannya. Penulis juga menyarankan pada para pembaca untuk memiliki sumber lain untuk  selain dari makalh ini, dengan menambah sumber yang dapat dipertanggungjawabkan tentunya dapat lebih membuat pembaca memahami bahasan diatas dan juga dapat membuat  makalah ini menjadi lebih bermanfaat.

BAB V

DAFTAR PUSTAKA

Sukardjono. (2008). Matei Pokok Hakikat dan Sejarah Matematika. Jakarta: Universitas Terbuka

Anonim. (2016). Filsafat dan sejarah matematika : Tidak Diterbitkan.

Maulana, Ganjar. (2015). Cara Menulis Daftar Pustaka Dari Berbagai Sumber. [Online]. Tersedia: http://bacaterus.com/cara-menulis-daftar-pustaka/ [27 agustus 2016].